Algorithm

[이코테] 9. 최단 경로

hyeonzzz 2024. 2. 27. 15:28

최단 경로 알고리즘

: 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

: 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

  • '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다.
  • 음의 간선 : 0보다 작은 값을 가지는 간선
  • 현실 세계의 간선은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다
  • 그리디 알고리즘으로 분류된다. ('가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문)

 

알고리즘의 원리

  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

 

1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로

다익스트라 알고리즘이 진행되면 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는다.

따라서 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.

 

알고리즘의 특징

  • '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다
  • 방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대해 4번 과정을 수행한다

 

알고리즘의 구현

1. 간단한 다익스트라 알고리즘

시간 복잡도 : O(V^2)  → 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 사용

V : 노드의 개수

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

2. 개선된 다익스트라 알고리즘

시간복잡도 : O(ElogV)

V : 노드의 개수, E : 간선의 개수

 

  • 최단 거리가 가장 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾는다
  • 힙 자료구조를 사용한다

 

힙 설명

  • 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조
  • 우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다
  • PriorityQueue, heapq 사용 (수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq 사용 권장)

  • 우선순위 큐를 구현할 때는 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다
  • 최소힙 → 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제
  • 최대힙 → 값이 큰 데이터가 먼저 삭제
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 최소 힙 구조를 기반으로 한다
  • 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해 음수 부호(-)를 붙이기도 한다

 

N개의 데이터를 모두 넣은 뒤, 모든 데이터를 꺼내는 경우

힙 시간복잡도 : O(NlogN)

리스트 시간복잡도 : O(N^2)

 

대부분의 경우 힙을 이용했을 때 훨씬 빠르게 동작한다.

힙을 이용하는 경우 모든 원소를 저장한 뒤에 우선순위에 맞게 빠르게 뽑아낼 수 있으므로 '우선순위 큐'를 구현하는 데 가장 많이 사용된다.

 

우선순위 큐를 이용한 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로

현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다.

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

우선순위 큐를 이용한 방식이 빠른 이유

  • 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다.
  • E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  • 모든 노드끼리 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수가 약 V^2이므로 E <= V^2 이다.
  • logE < logV^2
  • 시간복잡도 : O(ElogV)

 

플로이드 워셜 알고리즘

다익스트라 - 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구할 때 사용, 그리디 알고리즘

플로이드 워셜 - 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 할 때 사용, 다이나믹 프로그래

 

시간 복잡도 : O(N^3)

 

  • 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다
  • 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()